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高中数学恒成立问题的解题策略-高中数学教育论文

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高中数学恒成立问题的解题策略-高中数学教育论文

论文摘要:在高中数学教学中 ,我们经常会碰到某些恒成立的问题  。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型:一是利用函数图像与性质;二是变量分离  。本文对此进行了分析 。

论文关键词:恒成立问题;函数图像;数学

在高中教学中  ,我们经常会碰到在给定条件下某些结论恒成立的问题  ,我们怎样来解决呢  ? 函数在给定区间上某结论成立问题  ,其表现形式通常有:(在给定区间上某关系恒成立;(某函数的定义域为全体实数R;(某不等式的解为一切实数;(某表达式的值恒大于等等……

恒成立问题  ,涉及到一次函数、二次函数的性质、图像  ,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法  ,有利于考查学生的综合解题能力 ,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用  。因此也成为历年高考的一个热点 。

恒成立问题在解题过程中大致可分为以下两种类型:一是利用函数图像与性质  ,例如  ,一次函数、二次函数等;二是变量分离 。恒成立问题还要注意与存在性问题的区别和联系 。

一、利用函数图像与性质

例1:对任意恒成立 ,求的取值范围  。

解:令 ,

本题关于的二次函数  ,若二次函数大于0在R上恒成立且(即图像恒在轴上方)  。

若二次函数小于0在R上恒成立且(即图像恒在轴下方)  。

我们也会经常碰到二次函数在某一给定区间上的恒成立问题  ,碰到这样的情况  ,如果我们仍旧可以利用函数图像来解决的话  ,会更得心应手 。

变式1:对任意恒成立 ,求的取值范围  。

解:若对任意恒成立 ,令  ,利用其函数图像  ,

 ,得

变式2:若时  ,恒成立  ,求的取值范围  。

分析:可以看成关于的二次函数 ,也可以看成关于的一次函数  ,所以在不等式中出现了两个字母:及  ,关键在于该把哪个字母看成是一个变量  ,另一个作为常数  。显然  ,可将视作自变量  ,则上述问题即可转化为在内关于的一次函数小于0的恒成立问题  。

若原题可化为一次函数型  ,则由数形结合思想利用一次函数知识求解  ,十分简捷  。给定一次函数 ,若在内恒有  ,则根据函数的图像(直线)可得上述结论等价于;同理  ,若在内恒有 ,则有 ,

利用的函数图像可知  ,

变式3:对任意及时  ,恒成立  ,求的取值

范围  。

分析:不等式中出现了三个字母:  ,及  ,关键在于先把哪个字母看成是变量  ,另外两个作为常数  。

方法一:若先把看成关于的二次函数  ,且在上恒大于等于0  ,则  ,即 ,

在上恒成立  ,(如变式1)

令  ,  ,

方法二:若先把看成关于的一次函数  ,则在上恒成立(如变式2)  ,  ,则  ,所以此不等式在上恒成立  ,

二、变量分离

若在等式或不等式中出现两个变量  ,其中一个变量的范围已知  ,另一个变量的范围为所求  ,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边 ,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解  。运用不等式的相关知识不难推出如下结论:若对于x取值范围内的任何一个数都有恒成立  ,则;若对于取值范围内的任何一个数 ,都有恒成立  ,则 。(其中和分别为的最大值和最小值)

例2:已知函数在是增函数  ,在为减函数  ,(1)求的表达式;当时 ,若在内恒成立 ,求的取值范围  。

解:(1)函数在是增函数  ,

在上恒成立  ,

 ,在上恒成立  , ①

函数在是减函数  ,在上恒成立  。

在上恒成立  , ②

由①②可得  ,  , ,

方法一:  ,

令在上恒成立  ,

在上单调递减  ,  ,

 ,

方法二:方法一是采用恒成立  ,则来解决  ,也可以利用恒成立;恒成立  ,

 ,

 ,  ,  ,  , ,

在上恒成立 ,  ,

例3:已知函数对于总有成立 ,求实数的值  。

方法一:(同例2的方法二)

①当时  ,不符题意;

②当  ,在上恒成立  ,在上单调递减.  ,不符题意;

③当  ,在单调递增;在上单调递减  。

在的最小值可能是 ,也可能是 ,

 ,且 ,且  ,

④当 ,在上恒成立  ,在上单调递减  , ,所以不符题意  。

综上所述 ,  。

方法二:(同例2的方法一)

 ,

① 当时  ,;

② 当时 , 令

在单调递增  ,在

在上恒成立 ,在上单调递减  ,  。

③当时  ,令

在单调递增  ,  。

综上所述  ,  。

三、存在性问题和恒成立问题的区别和联系

1.存在性问题和恒成立问题的区别

例4:若对于  ,有解  ,求

的范围 。

分析:原不等式可整理成 ,则存在  ,有解  ,是一个存在性问题  。存在性问题有如下解法:①在定义域上有解;②在定义域上有解  。

解:令  ,在上恒大于零  ,在上单调递增  ,  , 。

变式:任意  ,恒成立 ,求的范围  。

解:(由例4可得)因为在上恒成立 ,所以=  。

2.存在性问题和恒成立问题的联系

如例4:令:存在  , 有解 ,所以命题是一个存在性问题;

而:任意  ,恒成立  ,它是一个恒成立问题. 所以求满足条件的的范围 ,先可以求满足条件的的范围  ,再求其补集  。

因为:任意  ,恒成立  ,所以  ,  ,所以满足条件的的范围为 。

存在性问题可以与恒成立问题相互转化  ,存在性问题的反面是恒成立问题  ,恒成立问题的反面是存在性问题  。

综上  ,恒成立问题的解决主要是以上几种方法  ,恒成立问题解决有利于函数方面知识的掌握  ,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用 。

    
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