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求解二面角的六种常规方法-初中数学教育论文

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求解二面角的六种常规方法-初中数学教育论文

求解二面角问题是高考的热点问题 ,在近几年的高考中几乎每一年、每一套高考题的立体几何问题都涉及到求二面角的大小问题.然而通过对学生考卷的分析  ,我们发现这一问题的得分率却并不理想.因此  ,本文总结了常见的六种求解二面角的方法 ,希望能给部分读者以帮助.

1.定义法

是指过二面角的棱上任一点在两个面内分别作垂直于棱的直线  ,则两直线所构成的角即为二面角的平面角  ,继而在平面中求出其平面角的一种方法.

【例1】 如图1  ,空间四边形ABCD中  ,AB=BC=CD=DA=a  ,对角线AC=a  ,BD=2a  ,求二面角A—BD—C的大小.

图1

解:取BD的中点为O  ,分别连接AO、CO  ,

∵AB=AD  ,BC=CD.

∴AO⊥BD  ,CO⊥BD.

∴∠AOC为二面角A—BD—C的平面角.

∵AB=AD=a ,BD=2a  ,

∴AO=22a.

∵BC=CD=a ,BD=2a  ,∴OC=22a.

在△AOC中  ,OC=22a ,OA=22a  ,AC=a  ,OA2+OC2=AC2 ,

∴∠AOC=90°  ,即二面角A—BD—C为直二面角.

2三垂线法

是指利用三垂线定理  ,根据“与射影垂直  ,则也与斜线垂直”的思想构造出二面角的平面角  ,继而求出平面角的方法.

【例2】 如图2 ,二面角α-AB-β的棱AB上有一点C  ,线段CDα ,CD=100  ,∠BCD=30°  ,点D到平面β的距离为253  ,求二面角α-AB-β的度数.

图2

解:过D作DE⊥β于E  ,DF⊥AB于F ,连接EF.

∵DF⊥AB  ,EF是DF在β内的射影  ,

∴AB⊥EF(三垂线定理).

∴∠DFE为二面角为α-AB-β的平面角.

在Rt△DEF中  ,DF=12CD=50  ,DE=253  ,

∴sin∠DFE=DEDF=25350=32.

∴∠DFE=60°.即二面角α-AB-β的度数为60°.

3.垂面法

是指用垂直于棱的平面去截二面角  ,则截面与二面角的两个面必有两条交线  ,这两条交线构成的角即为二面角的平面角  ,继而再求出其平面角的一种方法.

【例3】 如图3  ,已知SA⊥平面ABC ,AB⊥BC ,SA=AB  ,SB=BC  ,E是SC的中点  ,DE⊥SC交AC于D  ,求二面角E-BD-C的大小.

图3

解:∵BS=BC  ,SE=EC ,

∴SC⊥BE  ,又∵SC⊥DE ,

∴SC⊥面BDE.∴SC⊥BD.

又∵BD⊥SA ,∴BD⊥面SAC.

∴∠EDC为二面角E-BD-C的平面角.

设SA=a  ,则SB=BC=2a.

∵BC⊥AB  ,SA⊥平面ABC.

∴BC⊥SB.

∴SC=2a ,∠SCD=30°.

∴∠EDC=60°  ,

即二面角E-BD-C的大小为60°.

4.面积射影法

所谓面积射影法  ,就是根据三角形及其在某一个平面上的射影面积之间的关系  ,利用cosθ=S射S来计算二面角的一种方法(其中θ为二面角).

【例4】 在正方体ABCD-A1B1C1D1中 ,K∈BB1 ,M∈CC1 ,且BK=14BB1  ,CM=34CC1  ,求平面AKM与ABCD所成角的大小.

图4

解:连结AC  ,则由题意可知  ,

△ABC是△AKM在平面AC上的射影.

设平面AKM与ABCD所成角为θ  ,

则cosθ=S射S=S△ABCS

△AKM.

令正方体的棱长为4  ,

∴S△ABC=12AB•AC=12×4×4=8.

在△AKM中  ,AK=12+42=17  ,

AM=42+42+32=41  ,

KM=42+22=20.

由海伦公式可知S△AKM=221  ,

∴cosθ=421 ,θ=arccos421.

5.法向量法

法向量法是通过求与二面角垂直的两个向量所成的角  ,继而利用这个角与二面角的平面角相等或互补的关系  ,求出二面角的一种方法.

【例5】 如图5 ,过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD  ,设PA=AB=ɑ  ,求平面PAB和平面PCD所成的二面角的大小.

图5

解:以A为射点建立直角坐标系(如图5所示)  ,

则P(0  ,0 ,a)  ,D(0  ,a  ,0)  ,C(a  ,a  ,0).

设平面PCD的法向量为n=(x  ,y  ,z)  ,

则n•PD=0  ,n•CD=0.

即(x ,y ,z)•(0  ,a  ,-a)=0 ,(x ,y  ,z)•(-a ,0  ,0)=0.

∴y=-z  ,x=0.

即n=(0  ,1 ,-1).

又AD成为平面PAB的法向量 ,

而cos〈AD ,n〉=(0 ,a  ,0)•(0  ,1  ,-1)a•2=22  ,

∴AD与n所成的角为45°.

因此平面PAB和平面PCD所成的角为45°.

6.垂线法

是指先利用待定系数法确定垂足  ,再利用公式求出二面角的大小.

【例6】 如图6  ,在四棱锥P—ABCD中  ,底面ABCD为矩形  ,PD⊥底面ABCD  ,E是AB上一点 ,PE⊥EC  ,已知PD=2 ,CD=2 ,AE=12  ,求

(1)异面直线PD与EC的距离;

(2)二面角E-PC-D的大小.

图6

解:(1)略.

(2)以D为原点 ,DA、DC、DP分别为x  ,y  ,z轴建立空间直角坐标系.

作DG⊥PC  ,可设G(0 ,y ,z).

由DG•PC=0得(0  ,y ,z)•(0 ,2 ,-2)=0  ,即z=2y.

故可取DG=(0  ,1  ,2).

作EF⊥PC于F  ,设F(0 ,m  ,n)  ,则EF=(-32  ,m-12  ,n).

由EF•PC=0  ,得(-32 ,m-12  ,n)•(0  ,2  ,-2)=0  ,即2m-1-2n=0.

又由F在PC上得n=-22m+2 ,故m=1  ,n=22  ,EF=(-32  ,12  ,22).

因EF⊥PC  ,DG⊥PC  ,

故二面角E-PC-D的平面角θ的大小为向量EF与DG的夹角.

故cosθ=DG•EF|DG|•|EF|=22  ,∴θ=π4.

故二面角E-PC-D的大小为π4

   
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