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例谈二次函数在闭区间上的最值问题-初中数学教育论文

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例谈二次函数在闭区间上的最值问题-初中数学教育论文

二次函数是高中数学中最基本也最重要的内容之一  ,而二次函数在某一区间上的最值问题 ,是初中二次函数内容的继续  ,随着区间的确定或变化  ,以及系数中参变数的变化  ,它又成为高考数学的热点.

一、求定二次函数在定区间上的最值

当二次函数的区间和对称轴都确定时  ,要将函数式配方  ,再根据对称轴和区间的关系  ,结合函数在区间上的单调性  ,求其最值.

【例1】 已知2x2≤3x ,求函数f(x)=x2-x+1的最值.

解:由已知2x2≤3x  ,可得0≤x≤32 ,即函数f(x)是定义在区间[0  ,32]上的二次函数 ,将二次函数配方得f(x)=(x-12)2+34 ,其图象开口向上  ,且对称轴方程x=12∈[0  ,32] ,故f(x)max=f(32)=74  ,f(x)min=f(12)=34.

二、求动二次函数在定区间上的最值

当二次函数的区间确定而对称轴变化时  ,应根据对称轴在区间的左、右两侧和穿过区间这三种情况分别讨论 ,再利用二次函数的示意图 ,结合其单调性求解.

【例2】 已知二次函数f(x)=ax2+4ax+a2-1在区间[-4  ,1]上的最大值是5 ,求实数a的值.

解:将二次函数配方得f(x)=a(x+2)2+a2-4a-1  ,其对称轴方程为x=-2  ,顶点坐标为(-2  ,a2-4a-1)  ,图象开口方向由a决定 ,很明显  ,其顶点横坐标在区间[-4  ,1]上.若a<0  ,则函数图象开口向下  ,当x=-2时  ,函数取得最大值5  ,即f(-2)=a2-4a-1=5  ,解得a=2-10(a=2+10舍去);若a>0  ,则函数图象开口向上  ,当x=1时  ,函数取得最大值5 ,即f(1)=5a+a2-1=5  ,解得a=1(a=-6舍去).综上讨论  ,函数f(x)在区间[-4  ,1]上取得最大值5时  ,a=2-10或a=1.

三、求定二次函数在动区间上的最值

当二次函数的对称轴确定而区间在变化时 ,只需对动区间能否包含抛物线的顶点的横坐标进行分类讨论.

【例3】 已知函数f(x)=-x2+8x ,求f(x)在区间[t  ,t+1]上的最大值g(t).

解:函数f(x)=-x2+8x=-(x-4)2+16  ,其对称轴方程为x=4 ,顶点坐标为(4 ,16)  ,其图象开口向下.

(1)当顶点横坐标在区间[t  ,t+1]右侧时  ,有t+1<4  ,即t<3  ,当x=t+1时  ,g(t)=f(t+1)=-(t+1)2+8(t+1)=-t2+6t+7.

(2)当顶点横坐标在区间[t  ,t+1]上时  ,有t≤4≤t+1 ,即3≤t≤4 ,当x=4时  ,g(t)=f(4)=16.

(3)当顶点横坐标在区间[t  ,t+1]左侧时 ,有t>4  ,当x=t时  ,g(t)=f(t)=-t2+8t.

综上  ,g(t)=-t2+6t+7  ,当t<3时;16  ,当3≤t≤4时;-t2+8t ,当t>4时.

四、求动二次函数在动区间上的最值

当二次函数的区间和对称轴均在变化时 ,亦可根据对称轴在区间的左、右两侧及穿过区间三种情况讨论 ,并结合其图形和单调性处理.

【例4】 已知y2=4a(x-a)(a>0)  ,且当x≥a时  ,S=(x-3)2+y2的最小值为4  ,求参数a的值.

解:将y2=4a(x-a)代入S的表达式得S=(x-3)2+4a(x-a)=[x-(3-2a)]2+12a-8a2.

S是关于x的二次函数 ,其定义域为x∈[a  ,+∞)  ,对称轴方程为x=3-2a  ,顶点坐标为(3-2a  ,12a-8a2)  ,图象开口向上.若3-2a≥a  ,即02=4  ,此时a=1或a=12.若3-2a1  ,则当x=a时 ,Smin=[a-(3-2a)]2+12a-8a2=4  ,此时a=5(a=1舍去).

综上讨论  ,参变数a的取值为a=1或a=12或a=5.

    
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